Помощь студентам, абитуриентам и школьникам.

Консультации и учебные материалы для разработки диссертации, дипломной работы ,курсовой работы, контрольной работы, реферата, отчета по практике, чертежа, эссе и любого другого вида студенческих работ.

Не успеваешь написать работу? Поможем!

Пример: Курсовая работа
Численные методы


ВУЗ, город:

МТУСИ

Предмет: Информатика

Курсовая работа по теме:

Численные методы

Страниц: 27

Автор: Юлия

2008 год

5 22
RUR 1490
Внимание!
Это только выдержка из работы

Рекомендуем посмотреть похожие работы:

  1. Численные методы решения систем дифференциальных уравнений (Курсовая работа, 2006)

    ... задачи, решения которых выражаются че-рез специальные функции. ... разработке методов их исследования.Применение ЭВМ и ... задачи исследования: изучить алгоритмы решения систем дифференциальных уравнений.Предметом исследования являются численные методы ...

  2. Изучение различных численных методов (Курсовая работа, 2009)

    ... решения математических задач используются следующие основные группы методов: графические, аналитические и численные. Графические методы позволяют в ряде случаев оценить ...

  3. Метод Рыбакова для решения нелинейных уравнений (Курсовая работа, 2010)

    ... роль в повышении производительности ЭВМ приобретают численные методы. В век научно-технического ... численных методов позволяют быстро решать сложнейшие математические задачи. В данной работе будут рассмотрены методы решения нелинейных уравнений, ...

  4. Изучение различных численных методов (Контрольная работа, 2010)

    ... решения математических задач используются следующие основные группы методов: графические, аналитические и численные. Графические методы позволяют в ряде случаев оценить ...

  5. Численные методы вычисления кратных интегралов (метод повторного интегрирования (Курсовая работа, 2010)

    ... нужно решить следующие задачи: 1. Изучить понятия численного интегрирования, на которых базируются понятие кратного интеграла и численные методы его решения. 2 ...

  6. Численное интегрирование функции с одной переменной (Курсовая работа, 2010)

    ... любой другой численный метод, численное интегрирование позволяет с заданной точностью получить нужные результаты, используя заданные алгоритмы, не ... или же исходные данные, то есть функция, подлежащая интегрировании, представляет собой результаты ...

  7. Реализация методов первого порядка на языке высокого уровня (Курсовая работа, 2010)

    ... задачи математическими методами. Первые два метода состоят в формализации объекта и цели исследования. Третий заключается в решении сформулированных задач, получении численных ...

Содержание

І . Теоретическая часть 3

1.1. Метод наименьших квадратов 3

1.2. Метод итераций 5

1.3. Метод Ньютона (касательных) 6

1.4. Метод трапеций и средних прямоугольников 8

1.5. Метод дихотомии 9

1.6. Метод золотого сечения 10

ІІ. Практическая часть 12

Листинг программы 21

Список литературы 27

І. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

1.1. Метод наименьших квадратов

Линейная регрессия (теоретическое линейное уравнение регрессии) представляет собой линейную функцию между условным математическим ожиданием зависимой переменной Y и одной объясняющей переменной X (значения независимой переменной в i-ом наблюдении,).

. (1.1)

Для отражения того факта, что каждое индивидуальное значение отклоняется от соответствующего условного математического ожидания, необходимо ввести в последнее соотношение случайное слагаемое .

(1.1)

Это соотношение называется теоретической линейной регрессионной моделью, и теоретическими параметрами (теоретическими коэффициентами) регрессии, случайным отклонением.

Следовательно, индивидуальные значения представляются в виде суммы двух компонент систематической и случайной, причина появления которой достаточно подробно рассмотрена ранее. В общем виде теоретическую линейную регрессионную модель будем представлять в виде:

. (1.2)

Для определения значений теоретических коэффициентов регрессии необходимо знать и использовать все значения переменных X и Y генеральной совокупности, что практически невозможно.

Таким образом, задачи линейного регрессионного анализа состоят в том, чтобы по имеющимся статистическим данным для переменных X и Y:

а) получить наилучшие оценки неизвестных параметров и ; б) проверить статистические гипотезы о параметрах модели;

в) проверить, достаточно ли хорошо модель согласуется со статистическими данными (адекватность модели данным наблюдений).

Следовательно, по выборке ограниченного объема мы сможем построить так называемое эмпирическое уравнение регрессии

(1.3)

где оценка условного математического ожидания ; и оценки неизвестных параметров и, называемые эмпирическими коэффициентами регрессии. Следовательно, в конкретном случае:

(1.4)

где отклонение оценка теоретического случайного отклонения .

Параметры уравнения и находят методом наименьших квадратов (метод решения систем уравнений, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений), то есть в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных от выравненных :.

. (1.5)

Эта функция является квадратичной функцией двух параметров и . Условием существования минимума функции двух переменных является равенство нулю ее частных производных:

Разделив оба уравнения системы на n, получим:

где (1.6)

1.2. Метод итерации.

Дана непрерывная функция f (x), которая содержит единственный корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ε.

Суть метода

Дано f (x)=0 (1)

Заменим уравнение (1) равносильным уравнением

x=φ(x) (2)

Выберем грубое, приближенное значение x0, принадлежащее[a,b], подставим его в правую часть уравнения (2), получим:

x1= φ(x0) (3)

далее подставим х1 в правую часть уравнения (3) получим:

x2= φ(x1) (4)

x3= φ(x2) (5)

Проделаем данный процесс n раз получим xn=φ(xn-1)

Если эта последовательность является сходящейся т.е. существует предел

x* =lim xn, то данный алгоритм позволяет определить искомый корень.

Выражение (5) запишем как

x*= φ(x*) (6)

Выражение (6) является решением выражения (2), теперь необходимо рассмотреть в каких случаях последовательность х1хn является сходящейся.

Условием сходимости является если во всех токах x принадлежит [a,b] выполняется условие:

Приведем блок схему алгоритма метода итерации:

1.3. Метод Ньютона (касательных).

В рамках метода Ньютона предполагается, что функция дифференцируема. Согласно этому методу строится линейная аппроксимация функции в начальной точке, а точка, в которой аппроксимирующая линейная функция обращается в нуль, принимается в качестве следующего приближения.

терационый процесс схождения к корню реализуется формулой:

Вычисления продолжаются пока соблюдается условие

В зависимости от выбора начальной точки и вида функции алгоритм по методу Ньютона может как сходиться к корню уравнения, так и расходиться.

Блок схема алгоритма метода Ньютона:

1.4. Метод трапеций и средних прямоугольников.

Известно, что определенный интеграл функции типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= (Рис. 1). Есть два метода вычисления этой площади или определенного интеграла метод трапеций (Рис.

2) и метод средних прямоугольников (Рис. 3)..

Рис. 1. Криволинейная трапеция.

Рис. 2. Метод трапеций.

Рис. 3. Метод средних прямоугольников.

По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей

для метода трапеций:

для метода средних прямоугольников:

1.5. Метод дихотомии.

Метод дихотомии (деления отрезка пополам) — гарантированно сходящийся метод, если корень локализован. Пусть корень уравнения находится на интервале

Шаги метода:

1. точкой отрезок разбивается на две равные части.

2. отыскиваем, на каком из двух интервалов располагается корень:

если, то корень располагается на интервале ; присваиваем если же, то корень располагается на интервале ; присваиваем .

3. если требуемая точность не достигнута, то шаг 1 повторяется для нового интервала.

Метод дихотомии имеет линейную сходимость. Это означает, что число верно найденных знаков растет линейно с количеством операций.

1.6. Метод золотого сечения.

Итак, минимум локализован точками или же, причем

Для дальнейшего анализа потребуем, чтобы точка лежала ближе к, нежели к . В интервале строится новая очка

Выдержка

1.4. Метод трапеций и средних прямоугольников.

Известно, что определенный интеграл функции типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= (Рис. 1). Есть два метода вычисления этой площади или определенного интеграла метод трапеций (Рис. 2) и метод средних прямоугольников (Рис. 3).

Рис. 1. Криволинейная трапеция.

Рис. 2. Метод трапеций.

Рис. 3. Метод средних прямоугольников.

По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей

для метода трапеций:

для метода средних прямоугольников:

1.5. Метод дихотомии.

Метод дихотомии (деления отрезка пополам) — гарантированно сходящийся метод, если корень локализован. Пусть корень уравнения находится на интервале

Шаги метода:

1. точкой отрезок разбивается на две равные части.

2. отыскиваем, на каком из двух интервалов располагается корень:

если, то орень располагается на интервале ; присваиваем если же, то корень располагается на интервале ; присваиваем .

3. если требуемая точность не достигнута, то шаг 1 повторяется для нового интервала.

Метод дихотомии имеет линейную сходимость. Это означает, что число верно найденных знаков растет линейно с количеством операций.

1.6. Метод золотого сечения.

Итак, минимум локализован точками или же, причем

Для дальнейшего анализа потребуем, чтобы точка лежала ближе к, нежели к . В интервале строится новая точка

и вычисляется соответствующее значение функции .

, то минимум локализован точками . Для того, чтобы в новом отрезке точка лежала ближе к, чем к, следует переобозначить

если

, то минимум локализован точками . В этом случае следует переобозначить

Для того, чтобы метод работал оптимально, необходимо, чтобы точка нового отрезка делила его в том же отношении, что и исходный отрезок. Несложно убедиться, что этому требованию удовлетворяет

и, значит, точка делит отрезок в золотом сечении, что и дало названию методу.

После шага метода золотого сечения известен отрезок локализации минимума, длина которого в раза меньше исходного. Этот метод дает, таким образом, линейную сходимость, и является аналогом метода дихотомии.

Список использованной литературы

1. Банди Б. \методы оптимизации. М.: Радио и связь, 1988. 128 с.

2. Мельникова О.И., Бонюшкина А.Ю. Начала программирования на языке Qbasic: Учебное пособие = М.: Издательство ЭКОМ, 2000 304 с., ил.

3. Бирюков С.И. Оптимизация. Элементы теории. Численные методы: Учеб. пособие. М. : МЗ-Пресс, 2003. 248с. : рис. (Серия "Естественные науки). Библиогр.: с. 245-246.

4. Волков Е.А. Численные методы: Учеб. пособие. 3.изд., испр. СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2004. 248с. : рис., табл. (Учебники для вузов). Библиогр.: с. 244.

5. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации: Учебник для студ. высших техн. учеб. заведений / В. С. Зарубин (ред.), А.П. Крищенко (ред.). М. : Издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. 439с. : рис., табл. (Серия «Математика в техническом университете»; Вып.14). Библиогр.: с. 428-432.

6. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. 4. изд., испр. и доп. М. : Физматлит, 2000. 295с. : рис. Бібліогр.: с.285-287.

5 7
RUR 1490

Книги для самоподготовки по теме "Численные методы" - Курсовая работа

Информатика. Численные методы решения инженерных задач
Информатика. Численные методы решения инженерных задач
2013

ISBN 5742225237,9785742225232

Численные методы
Численные методы
2013

ISBN 5769566450,9785769566455

Численные методы оптимизации
Численные методы оптимизации
2013

ISBN 5922109758,9785922109758

Схемы численной оптимизации на основе алгоритмов сортировки с приложением к идентификации экстремумов решений дифференциальных уравнений
Схемы численной оптимизации на основе алгоритмов сортировки с приложением к идентификации экстремумов решений дифференциальных уравнений
2013

ISBN 5879766284,9785879766288

В пособии излагаются компьютерно ориентированные алгоритмы решения задач численной оптимизации. Для...
Численные методы. Теория. Алгоритмы. Программы
Численные методы. Теория. Алгоритмы. Программы
2013

ISBN 5904029020,9785904029029

Информатика. Базовый курс
Информатика. Базовый курс
Издательский дом "Питер" , 2012

ISBN 545900439X,9785459004397

В учебнике рассмотрены основные категории аппаратных и программных средств вычислительной техники. Указаны...

Статьи по теме для самостоятельной работы

Доцент кафедры информатики «Волгатеха» (Марий Эл) удостоен гранта Президента России - Газета

Доцент кафедры информатики «Волгатеха» (Марий Эл) удостоен гранта Президента России - Газета

4 июня на расширенном заседании Совета молодых ученых ПГТУ состоялось торжественное вручение гранта Президента России Юрию Ипатову, доценту кафедры информатики – победителю конкурса 2015 года по государственной поддержке молодых российских ученых. В том же году был награжден дипломом I степени за победу во Всероссийском конкурсе «Инновационные и технологические предпринимательские проекты среди... далее

Углеводородная математика - Наука и технологии России

Углеводородная математика - Наука и технологии России

И сегодня из-за обилия полезных ископаемых Россию иные соседи готовы сравнить с бензоколонкой, хотя, если обратиться к цифрам, то РФ находится лишь во второй пятёрке «нефтяных» стран по объёму запасов. Подходит ли к концу эпоха «чёрного золота» и прочих углеводородов, вопрос открытый: статистические данные говорят о том, что доказанных мировых запасов углеводородов при нынешних объёмах добычи и... далее

Магистратура в Техническом Университете Мюнхена - "The Saratov-room"

Магистратура в Техническом Университете Мюнхена - "The Saratov-room"

Многие читатели поста — молодые талантливые ребята, заканчивающие университет или находящиеся на одном из старших курсов университетов России и СНГ. Два с половиной года назад я находился в таком же положении и решил, что еще достаточно молод и красив и успею окунуться с головой в работу позже. Хочу поделиться впечателениями, потому что два года назад я мечтал, чтобы появился человек и объяснил... далее

«ВБ»: 40 лет отмечает в этом году матфак АлтГУ - Вечерний Барнаул

«ВБ»: 40 лет отмечает в этом году матфак АлтГУ - Вечерний Барнаул

Нынешний год – юбилейный для факультета математики и информационных технологий Алтайского государственного университета. И самый первый - преподаватель, заведующий первой и единственной в 1974 году математической кафедрой (математического анализа) Геннадий Лаврентьев (на фото). Он - лауреат Государственной премии Правительства РФ в области образования, лауреат Государственной премии Алтайского... далее







Карта : А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Наверх