Помощь студентам, абитуриентам и школьникам.

Консультации и учебные материалы для разработки диссертации, дипломной работы ,курсовой работы, контрольной работы, реферата, отчета по практике, чертежа, эссе и любого другого вида студенческих работ.

Не успеваешь написать работу? Поможем!

Пример: Реферат
Неравенство Чебышева


ВУЗ, город:

Москва

Предмет: Логика

Реферат по теме:

Неравенство Чебышева

Страниц: 13

Автор: Юлия

2008 год

3 2
RUR 499
Внимание!
Это только выдержка из работы

Рекомендуем посмотреть похожие работы:

  1. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (3 часть), 14 заданий по 5 тестовых вопроса (Контрольная работа, 2013)

    ... вероятности . 4. Если заданы k значений вероятностей исхода испытания. 5. Если заданы минимальное и максимальное значения случайной величины X. Вопрос ...

  2. Высшая математика 3 часть. (Контрольная работа, 2013)

    ... где Е1 – деталь 1 сорта, Е2 – деталь 2 сорта, Е3 – деталь 3 сорта, Е4 – бракованная деталь. Задание 43 Вопрос ... – оба шара одинакового цвета, Е2 – шары разных цветов; 4) (Е1, Е2), где Е1 – первым достали белый шар, Е2 – вторым достали шар ...

  3. Расчет ARC-фильтров (Курсовая работа, 2006)

    ... расчете ARC-фильтров, также как и при расчете LC-фильтров, вся область частот разделяется на три полосы: полоса пропускания, полоса ...

  4. Теория вероятностей (Контрольная работа, 2011)

    ... X, которой заменили неизвестное значение М(Х)=а. Каково наименьшее значение вероятности того, что эта ... в форме: . p – успех в одном испытании, q=1-p – неудача, n=200, . Используем выражение для дисперсии ...

  5. 4 задачи (решение) (Контрольная работа, 2013)

    -

Содержание

Введение 3

1. Неравенство Чебышева 4

2. Теорема Чебышева 6

3. Примеры использования ЗБЧ и неравенства Чебышёва 9

Заключение 12

Список используемой литературы 13

ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрения ряд утверждений и теорем из большой группы так называемых предельных теорем теории вероятностей, устанавливающих связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом числе испытаний над ними. Они составляют основу математической статистики. Предельные теоремы условно делятся на две группы. Первая группа теорем, называемая законом больших чисел, устанавливает устойчивость средних значений: при большом числе испытаний их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с достаточной точностью. Вторая группа теорем, называемая центральной предельной теоремой, устанавливает условия, при которых закон распределения суммы большого числа случайных величин неограниченно приближается к нормальному.

1. Неравенство Чебышева

Пусть случайная величина имеет конечный момент второго порядка, тогда

, (1)

где — любое действительное число и . Соотношение (1) называют неравенством Чебышева.

Сначала рассмотрим доказательство неравенства, следующего из (1) при :

. (2)

Доказательство неравенства Чебышева удобнее рассматривать отдельно для непрерывной и для дискретной случайных величин. При этом доказательства являются относительно простыми, а ход доказательств вполне очевиден. В то время как универсальное доказательство, справедливое и для непрерывной и для дискретной случайных величин оказывается значительно более сложным. Рассмотрим непрерывную случайную величину с плотностью вероятности . Тогда в соотношении первое слагаемое можно представить в виде

поэтому

Здесь использовано неравенство — справедливое на области интегрирования. Полученное выражение совпадает с неравенством (2). Аналогично выполняется доказательство для дискретной случайной величины.

Теперь случайную величину (2) можно заменить на случайную величину, где — любое действительное число, тогда из (2) следует неравенство Чебышева (1). Это неравенство определяет границу сверху для вероятности или, как говорят, больших уклонений случайной величины от числа . Большие уклонения понимаются в смысле их превышения над заданным числом .

Пусть, тогда неравенство Чебышева (1) имеет вид

. (3)

Теперь минимальное уклонение можно измерять в единицах среднеквадратического уклонения случайной величины, т.е. положить

, (4)

где — коэффициент пропорциональности. Подставим (4) в (3), тогда

. (5)

Если правая часть, то (5) не представляет какого-либо ограничения на случайную величину, поскольку вероятность не может выходить за пределы интервала . Поэтому коэффициент в (5) имеет смысл рассматривать только большим: . Отсюда очевидна интерпретация неравенства Чебышева как неравенства, определяющего границу сверху вероятности больших уклонений.

Пусть — непрерывная случайная величина с плотностью вероятности, тогда неравенству Чебышева (1) можно дать простую геометрическую интерпретацию, представленную на рис.1.

Выдержка

3. Примеры использования ЗБЧ и неравенства Чебышёва

Пример 1.

Можно указать неотрицательную случайную величину Х и положительное число а такие, что первое неравенство Чебышёва обращается в равенство.

Достаточно рассмотреть .

Тогда М(Х) = а, М(Х)/а = 1

и Р(а>a) = 1,

т.е. P (X>a) = M (X)|a = 1.

Следовательно, первое неравенство Чебышёва в его общей формулировке не может быть усилено. Однако для подавляюего большинства случайных величин, используемых при вероятностно-статистическом моделировании реальных явлений и процессов, левые части неравенств Чебышёва много меньше соответствующих правых частей.

Пример 2.

Может ли первое неравенство Чебышёва обращаться в равенство при всех а?

Оказывается, нет. Покажем, что для любой неотрицательной случайной величины с ненулевым математическим ожиданием можно найти такое положительное число а, что первое неравенство Чебышёва является строгим.

Действительно, математическое ожидание неотрицательной случайной величины либо положительно, либо равно 0.

В первом случае возьмем положительное а, меньшее положительного числа М(Х), например, положим а = М(Х)/2.

Тогда М(Х)/а больше 1, в то время как вероятность события не может превышать 1, а потому первое неравенство Чебышева является для этого а строгим. Второй случай исключается условиями примера 1..

Пример 3.

Монета подбрасывается 10 000 раз. Оценить вероятность того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на одну сотую.

Требуется оценить, где число выпадений герба, а независимые с. в., имеющие распределение Бернулли с параметром ½, равные «числу гербов, выпавших при i-м подбрасывании» (то есть единице, если выпал герб и нулю иначе, или индикатору того, что выпал герб). Поскольку, искомая оценка сверху выглядит так:

Иначе говоря, неравенство Чебышёва позволяет заключить, что, в среднем, не более чем в четверти случаев при 10 000 подбрасываниях монеты частота выпадения герба будет отличаться от ½ более чем на одну сотую. Мы увидим, насколько это грубая оценка, когда познакомимся с центральной предельной теоремой.

Пример 4.

Пусть последовательность случайных величин, дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной С, а ковариации любых с. в. и (), не являющихся соседними в последовательности, равны нулю. Удовлетворяет ли эта последовательность ЗБЧ?

Воспользуемся неравенством (13) и свойством 12:

Но для i < j, по условию,, если . Следовательно, в сумме равны нулю все слагаемые кроме, может быть, (их ровно n -1 штука).

Оценим каждое из них, используя одно из свойств коэффициента корреляции

(по условию задачи)

при, т.е. последовательность удовлетворяет ЗБЧ.

Пример 5.

Пусть С = 1, = 0,1. При каких k правая часть неравенства (6) не превосходит 0,1? 0,05? 0,00001?

В рассматриваемом случае правая часть неравенства (6) равно 100/ k. Она не превосходит 0,1, если k не меньше 1000, не превосходит 0,05, если k не меньше 2000, не превосходит 0,00001, если k не меньше 10 000 000.

Список использованной литературы

1. Письменный Д.Т., Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам М.: Айрис-пресс, 2006. — 288 с.

2. Боровков Александр Алексеевич. Теория вероятностей. 4.изд. М. : Едиториал УРСС, 2003. 470с. Библиогр.: с. 464-466.

3. Бочаров Павел Петрович, Печенкин Александр Владимирович. Теория вероятностей. Математическая статистика: Учеб. пособие. М. : Гардарика, 1998. 327с. (Univers).

4. Вентцель Елена Сергеевна. Теория вероятностей: Учебник для студ. вузов. 7.изд., стер. М. : Высшая школа, 2001. 575с. : рис., табл.

5. Гмурман Владимир Ефимович. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студ. вузов. 9.изд., стер. М. : Высшая школа, 2003. 479с. : рис.

5 37
RUR 499

Книги для самоподготовки по теме "Неравенство Чебышева" - Реферат

Russian-English/English-Russian Dictionary on Probability, Statistics, and Combinatorics
Russian-English/English-Russian Dictionary on Probability, Statistics, and Combinatorics
Сиам , 1994

ISBN 0898713161,9780898713169

Contains current terminology from developments in the last 30 years in probability theory, mathematical...
Алгоритм построения представительной территориальной выборки
Алгоритм построения представительной территориальной выборки

ISBN

Теория информации
Теория информации
Издательский дом "Питер" , 2012

ISBN 5388001784,9785388001788

Лекции по вещественному анализу
Лекции по вещественному анализу
БХВ-Петербург , 2013

ISBN 5977506317,9785977506311

Книга посвящена основам теории интегрирования и смежным темам. Особое внимание уделяется теории интеграла...
Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика
1977

ISBN

Краткий курс высшей математики, У/П
Краткий курс высшей математики, У/П

ISBN 5276016755,9785276016757

Статьи по теме для самостоятельной работы

Дожди направили монголов на Русь - Газета.Ru

Дожди направили монголов на Русь - Газета.Ru

Как войска Чингисхана и его потомков смогли завоевать полмира, в том числе и Русь, поняли ученые из США. На протяжении многих лет ученые связывали упадок так называемых комплексных обществ с климатическими изменениями. Стоит уточнить, что к подобным обществам принято относить развитые социальные формации, характеризовавшиеся разветвленной иерархией управления, городским устройством,... далее

Парламент Латвии рассмотрит законопроект об изменении статуса русского языка - KM.RU

Парламент Латвии рассмотрит законопроект об изменении статуса русского языка - KM.RU

5 «Закона о государственном языке» 1999 года, все языки, кроме латышского и ливского, считаются иностранными. Поэтому с момента вступления закона в силу в 2000 году государственные учреждения не принимают документов и заявлений на русском языке, а также не предоставляют на нем информации, за исключением особо оговоренных случаев. В четверг, 22 декабря, Сейм Латвии на пленарном заседании... далее

Национальная политика в СССР - Russkie.Org

Национальная политика в СССР - Russkie.Org

Ломоносова А.А.АА. Об изучении и преподавании с позиций национально-государственного патриотизма» , представляющая собой расширенный вариант предисловия к учебному пособию «История России. Ныне мы вновь возвращаемся к эти вопросам в связи с выходом в свет книги: Вдовин А.А.АА. : Вече, 2011... далее

Интернет для преподавателей математики - Учительская газета

Интернет для преподавателей математики - Учительская газета

Алексей Семенов, ректор Московского педагогического государственного университета: «Организаторы образования при введении базового ЕГЭ по математике выигрывают, а ученики – проигрывают. Учителя преподают меньшую часть математики, то есть в значительной степени перестают учить, но зато появляются шансы, что дети хоть что-то выучат ради сдачи ЕГЭ. Самый печальный прогноз – появление классов, где... далее







Карта : А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Наверх