Содержание
Содержание
Введение…………………………………………………………………………………….3
1. Используемый теоретический аппарат
1.1 Основные определения функционального анализа……………………5
1.2 Теоретический аппарат, необходимый в исследовании……..
2. Результаты исследования………………………..
3. Обоснование полученного результата……………….
4. Листинг программы вычисления собственных чисел и
собственных функций……………………………………….
5. Результаты работы программы…………………………..
Заключение…………………………………………………
Список литературы……………………………………………….
Выдержка из текста
Введение
Вычисление собственных чисел и собственных функций операторов не перестаёт быть актуальным, во-первых потому что общего (единого) алгоритма их вычисления нет, а во-вторых потому что эти числа имеют большую значимость в задачах прикладного характера.
В связи с этим целью исследования является нахождение и обоснование алгоритмов вычисления собственных чисел и собственных функций. При этом можно сформулировать задачу работы как задачу определения собственных чисел и собственных функций не на основе теории возмущений, а на основе применения численных методов решения дифференциальных уравнений.
В теории возмущений для определения собственных чисел и собственных функций возмущенного оператора С=А+*В используется разложение этих величин (собственных чисел и собственных функций ) в ряды по степеням *, и при этом применение данной теории ограничивается достаточно малыми значениями *. В данной работе рассматривается подход, обеспечивающий приближенное вычисление первых собственных чисел и собственных функций как решения дифференциальных уравнений первого порядка, в которых производная берётся по *. Однако решения дифференциальных уравнений находятся не точно, а с использованием групп методов Рунге-Кутта, в частности метода Эйлера.
Впервые данный подход был рассмотрен академиком А.А.Дороднициным в пятидесятых годах двадцатого века для конечномерного оператора. А.А.Дородницин в статье [] высказал предположение об обобщении рассматриваемого подхода на случай бесконечномерных самосопряженных операторов, вопрос о сходимости для которых подлежит специальному рассмотрению.
Новизна работы заключается в обобщении результатов А.А.Дородницина на бесконечномерный случай и обосновании сходимости решений полученных дифференциальных уравнений к искомым собственным числам и собственным функциям возмущенного оператора.
В работе используется сквозная нумерация формул, лемм и теорем.
Список использованной литературы
1.Воробьёва Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по вычислительной математике. — М.: 1990.
2.Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. — М.: 1963.
3.Дородницин А. А. Избранные научные труды. Т. 1. — М.: РАН. Вычислительный центр, 1997.
4.Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.
5.Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — М.: Высшая школа, 1973.
6.Никольский С. М. Курс математического анализа. — М.: Наука, 1975.
7.Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.
8.Садовничий В. А. Теория операторов. Учебник для вузов. — 3-е изд., стер. — М..: Высш. шк., 1999.
